Nichtlineare Dynamik, Chaos-Theorie und fraktale Strukturen bilden die zentralen Inhalte dieses Forschungsprojektes, das sich aus verschiedenen Teilprojekten zusammensetzt:
  1. Entwicklung bzw. Fortentwicklung der Methoden der Mathematischen Physik zur Formulierung und Lösung nichtlinearer Gleichungen. In Zusammenarbeit mit Prof. Grmela (Montreal, Kanada) gelang es, diskrete Boltzmann- und Vlasov-Gleichungen über eine dissipative Dynamik mittels Hamilton und Entropiefunktional zu formulieren und die dynamischen Invarianten dieser Gleichungssysteme aufzufinden. Unter Anwendung der Lieschen Similarity-Methode konnte die Boltzmann-Gleichung (Integrodifferentialgleichung) auf ein System nichtlinearer gewölicher Differentialgleichungen reduziert werden(Dissertation El-Hanbaly). Ferner gelang es für die nichtlineare Boltzmann-Gleichung eine Methode zur Konstruktion von Lösungsklassen dieser Gleichung bei Anwesenheit von nicht-konservativen Kräften zu entwickeln. Fortentwicklungen der Lieschen Methode konnten ebenfalls erfolgreich angewendet werden bei der Lösung nichtlinearer Schrödinger- und Diffusions-Gleichungen.
  2. Eine überaus aktuelle und illustrative Anwendung der nichtlinearen Dynamik und Chaos-Theorie befaßte sich mit der Dynamik in Ionen-Fallen(Paul- und Penning-Fallen).
    Hier konnten bisher unentdeckte Symmetrien der nichtlinearen Fallengleichungen aufgefunden werden. Diese Symmetrieeigenschaften erlauben die Konstruktion von Bewegungsintegralen, welche reguläre Lösungen bewirken. Die Symmetrien sind experimentell nutzbar, da sie direkt mit Stellgrößen des Experiments verbunden sind und damit regulärem Verhalten entsprechen. Chaotisch wird die Ionenbewegung für alle anderen Parameterkonstellationen. Die Differenzierung zwischen regulärem und chaotischem Verhalten wurde neben den analytischen Lösungen mit numerischen Berechnungen der Lyapunov-Exponenten sowie von Poincare-Schnitten (KAM-Tori) demonstriert.
  3. Fraktale Integral- und Differentialoperatoren bilden die mathematische Grundlage zur analytischen Formulierung fraktaler Strukturen (Zeit- bzw Geometriefraktale) mit zahlreichen Anwendungen, insbesondere in ungeordneten Systemen (Gläser, Polymere, etc). Eingehend untersucht wurden fraktale Anfangswertprobleme der konstitutiven Gleichungen der linearen Viskoelastizitätstheorie auf Basis fraktaler Liouville-Riemann-Operatoren. Da sich solche fraktale Gleichungen explizit lösen lassen, führen sie auf eine Beschreibungsweise, die einerseits mathematisch exakt behandelbar ist und andererseits mit wenigen, experimentell einfach zugänglichen Parametern das Verhalten viskoelastischer Materialien wiedergibt.
  4. Skalengesetze und fraktale Dimensionen in der Zellbiologie wurden in Zusammenarbeit mit Prof. Losa (Lausanne/Locarno) im Rahmen der Bestimmung irregulärer Strukturen von Lymphozyten und Leukämiezellen angewendet. Diese fachübergreifende und interdisziplinäre Problemstellung umfaßt auch das Auffinden von Verteilungsfunktionen für Proteine auf Zellmembranen. Für die experimentelle Bestimmung der fraktalen Dimension von Zellprofilen mußten vorhandene Algorithmen zur numerischen Berechnung multifraktaler Rényi-Dimensionen überartbeitet und eine zuverlässige Fehlerabschätzung ins Programm eingearbeitet werden.