Eine kleine kombinatorische Betrachtung und eine halbe Binomialverteilung

In einer Klausur gab es eine Aufgabe, in der bei 10 Aussagen angekreuzt werden musste, ob sie richtig oder falsch seien. Dabei gibt jedes richtige Kreuz einen Punkt, jedes falsche Kreuz jedoch einen Punkt Abzug, da man sonst durch raten ja schon die Hälfte der Punkte kriegen konnte. Allerdings wurden keine negativen Gesamtpunkte vergeben, so dass, wer die Hälfte oder mehr falsch hatte, 0 Punkte bekam. Da die Aufgabe ziemlich schlecht ausgefallen war, der Durchschnitt lag bei 2.6 Punkten, stellte sich die Frage: Sind die Studenten eigentlich besser als der Zufall? Falls ja um wieviel?

Die Frage ist also nach dem zu erwartenden Durchschnitt, dem Erwartungswert, für die Punkte bei dieser Art Aufgabe. Eine kombinatorische Betrachtung führt über die Binomialkoeffizienten zur Binomialverteilung. Wegen des Ausschlusses negativer Punkte, ist es aber nur eine "halbe" Binomialverteilung.

Da sich diese Halbsumme nicht so recht analytisch in den Griff kriegen lässt, ist etwas Programmierarbeit nötig. Wer doch eine geschlossene Darstellung der Summe findet, darf sich gern bei mir melden.

Nur für den Fall p=0.5 findet sich eine geschlossene Darstellung der Summe, aufgrund der Verwandtschaft des Problems mit der mittleren absoluten Abweichung, bekannt auch vom 1-dimensionalen Random Walk.

Hier findet sich:
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